Consigne: Montrer que si \)\lambda\( une valeur propre de \)A\( de multiplicité \)m\(, alors \)$1\leqslant\operatorname{dim} E_\lambda\leqslant m$$
Si \(\lambda\) est une valeur propre, alors $$\exists v\neq0,\quad \underbrace{v\in\ker(A-\lambda\operatorname{Id})}_{\implies\operatorname{dim}\ker(A-\lambda\operatorname{Id})\geqslant1}$$
Si pas assez de vecteurs dans la base \(\to\) théorème de la base incomplète
Supposons que \(v_i,\ldots,v_k\) soit une base de \(\ker(A-\lambda\operatorname{Id})=E_\lambda\) avec \(k\leqslant n\)
Alors d'après le théorème de la base incomplète, on peut trouver des valeurs \(v_{k+1},\ldots,v_n\) telles que \(v_1,\ldots,v_n\) est une base de \(E_\lambda\)
La matrice \(A\) dans la base \(v_1,\ldots,v_n\) est : $$\left(\begin{array}{ccc|ccc}\lambda&&\varnothing\\ &\ddots&&&?&\\ \varnothing&&\lambda\\ \hline\\ &\varnothing&&&C=?\\ \\ \end{array}\right)$$
Soit \(C\) la matrice de taille \((c-k)\times(n-k)\) inconnue
On calcule le polynôme caractéristique de cette nouvelle matrice \(P_A(X)\) :$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc|ccc}\lambda-X&&\varnothing\\ &\ddots&&&?&\\ \varnothing&&\lambda-X\\ \hline\\ &\varnothing&&&C-X\operatorname{Id}\\ \\ \end{array}\right)$$
Cette matrice est triangulaire par blocs, donc on a : $$\begin{align}&=\operatorname{det}\begin{pmatrix}\lambda-X&&\varnothing\\ &\ddots\\ \varnothing&&\lambda-X\end{pmatrix}\cdot\operatorname{det}(C-X\operatorname{Id})\\ &=(\lambda-X)^kP_C(X)P_A(X)\\ &=(X-\lambda)^mQ(X)\quad\text{ avec }\quad Q(\lambda)\neq0\end{align}$$
On a donc $$Q(X)=(X-\lambda)^k(-1)^kP_C(X)$$
Or, pour \(X=\lambda\), on a $$Q(\lambda)=\underbrace{(\lambda-\lambda)^{k-m}}_{=0}(-1)^kP_C(\lambda)\neq0$$
Il y a donc une contradiction pour \(k\gt m\), donc $$k\leqslant m$$
(Théorème de la base incomplète)